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找次品的规律公式口诀怎么推导出来过程详解

发布时间:2021-07-22 10:30源自:知识作者:小街网阅读()

  找次品的规律公式9个10个口诀怎么推导出来过程详解说明
  数学下册中讲述了找次品这个数学问题,该问题来源于实际生活,是这样描述的:在若干相同的样品中,已知其中有1个样品是次品,且已知该次品比标准样品轻(或重),则仅采用无法码天平,在确保能找出该次品的条件下,最少需要几次称量?
找次品的规律公式口诀怎么推导出来过程详解
  比如有3个样品a、b、c,已知其中有1个次品,且该次品比标准样品轻,则在确保能找出该次品的情况下,最少需要几次衡量呢?
  答案是仅需要1次。如下描述:
  $$
  begin{cases}
  如果a gt b,则b是次品;
  如果a lt b,则a是次品;
  如果a=b,则c是次品.
  end{cases}
  $$
  从上述可知,无论3个样品中哪个是次品,只要1次就肯定可以找出这个次品。
  那么,这种方案是否有规律可找呢?
  规律
  因为我们研究的找次品问题是在已知次品较轻或轻重的前题下进行的,所以只要将所给定的样品数按一定规律分成3份,则在一次称量后肯定可以确定出次品在哪一份中。据此,我们提出如下猜想:
  对任何一个大于1的正整数M,必然存在另一个正整数n,满足$3^{n-1}lt M le 3^{n}$,则知若M个同类样品中存在1个次品,且该次品较标准轻重已知,则保证能在该样品堆中利用无法码天平找出次品的最少称量次数即为n。
  比如有12个样品,其中存在1个次品,且次品较轻,由于$3^2 lt 12 le 3^3$,所以在利用天平确保能找到这个次品的最少称量次数为3。
  讨论:
  将这12个物品分为3份A、B、C,每份4个,由于4个物品最少可用2次衡量确保能够找出其中次品,故分情况讨论如下:
  $$
  begin{cases}
  如果A gt B,则次品在B中,根据上述,再称量2次即可知次品。共用称量次数3。
  如果A lt B,则次品在A中,根据上述,再称量2次即可知次品。共用称量次数3。
  如果A=B,则次品在C中,根据上述,再称量2次即可知次品。共用称量次数3。
  end{cases}
  $$
  证明
  我们找到了规律,但是这种规律是否适合所有的已知次品轻重的情况呢?下面我们用数学归纳法给出一个证明:
  证明:
  1.)当n=1时,即$3^0 lt M le 3^1$,满足该式的M值为2、3。
  当$M=2$时,两者用天平比较,较轻为次品。
  当$M=3$时,在上文简述中已有论述。
  故当n=1时,规律正确。
  2.)假设$n=m(m为大于1的正整数)$时规律成立,即$3^{m-1}lt M le 3^{m}$,则下面证明$n=m+1$时的情况。
  当$n=m+1$时,将M分两种情况讨论:
  $underline{(a):3^{m}lt M lt 2 times 3^{m}}$
  这种情况下,可将M分解为三部分,即$underline{M=frac{3^{m}-1}{2}+frac{3^{m}-1}{2}+N(其中0 lt N le 3^{m})}$
  为描述方便,将上式中第1部分称为A,第2部分称为B。
  如果$A=B$,则次品在上式中的第3部分N中,根据假设可知再用m次即可找到次品,即总次数为$m+1$。
  如果$A>B$,则次品在上式中的第2部分B中,由于$3^{m-1}lt B lt 3^{m}$,则根据假设可再用m次称量即可找到次品,总次数为$m+1$。
  如果$A lt B$,论证过程和$A gt B$情况相同。
  $underline{(b):2 times 3^{m}le M le 3^{m+1}}$
  这种情况下,可将M分解,即$underline{M=3^{m}+3^{m}+N(其中0 le N lt 3^{m})}$
  同样为描述方便,将上式中第1部分称为A,第2部分称为B。
  如果$A=B$,则次品在上式中的第3部分N中,根据假设可知再用m次即可找到次品,即总次数为$m+1$。
  如果$A>B$,则次品在上式中的第2部分B中,由于$3^{m-1}lt B le 3^{m}$,则根据假设可再用m次称量即可找到次品,总次数为$m+1$。
  如果$A lt B$,论证过程和$A gt B$情况相同。
  综上论述,可知我们所找到的规律是正确的。
  进一步思考
  根据上述讨论,可知在已知次品较标准样品轻重的前题下,可采用我们找到的规律进行求解,如82个样品中有1个次品,且次品较轻,则由于$3^4 lt 82 le 3^5$,故知如果要确保能找到该次品的情况下,最少需要5次称量才行。
  那么同学们思考一下,如果事先并不知道次品是轻还是重,只知道次品与标准样品重量不一样,这种规律是否可有用,为什么呢?比如最著名的13球问题:即13个球中有一个次品球,该次品球与其他球重量不一致,要确保能找到该次品球,用无法码天平称量,最少要几次?

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